Московский государственный университет печати

А.В. Ванников, Г.А. Бабушкин


         

Методы и средства научных исследований

Конспект лекций для студентов, обучающихся по специальности «Технология полиграфического производства»


А.В. Ванников, Г.А. Бабушкин
Методы и средства научных исследований
Начало
Об электронном издании
Оглавление

Методы и средства научных исследований

Методология науки

1.

Лекция 1

1.1.

Специфика научной деятельности

1.2.

Критерии научного знания

1.3.

Методы научного познания

2.

Лекция 2

2.1.

Средства научного познания

2.2.

Возникновение естествознания

2.3.

Структура научного знания

2.4.

Взаимосвязь теории и эксперимента

2.5.

Модели научного познания

2.6.

Научные традиции

3.

Лекция 3

3.1.

Научные революции

3.2.

Научные открытия

3.3.

Фундаментальные научные открытия

3.4.

Проблемы науки

3.5.

Идеалы научного знания

3.6.

Функции науки

3.7.

Научная этика

4.

Лекция 4

4.1.

Очистка веществ

4.2.

Методы очистки

4.3.

Основные экспериментальные методы исследования строения молекул

5.

Лекция 5

5.1.

Полярография и анодная вольтамперометрия

5.2.

Спектральные методы

5.3.

Электронные спектры поглощения и люминесценции

5.4.

Инфракрасные спектры поглощения

5.5.

Спектры комбинационного рассеяния

6.

Лекция 6

6.1.

Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР).

6.2.

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)

7.

Лекция 7

7.1.

Фотоэлектронная спектроскопия (ФЭС)

7.2.

Масс-спектрометрия

7.3.

Спектрополяриметрия

7.4.

Эффект Холла

7.5.

Зондовая микроскопия

8.

Лекция 8

8.1.

Оценка точности физических измерений

8.2.

Основные правила действий с приближенными числами

8.3.

Нормальные случайные величины

8.4.

Среднее и истинное значение изменяемой величины. Типы ошибок

8.5.

Дисперсия

8.6.

Среднее и дисперсия совокупности среднеарифметических

8.7.

Оценка квадратичного отклонения по размаху

8.8.

Доверительные интервалы

9.

Лекция 9

9.1.

Подбор формул по данным эксперимента методом наименьших квадратов

10.

Литература

Указатели
20   указатель иллюстраций
Рис.18 Две нормальные плотности вероятности, соответствующие x0 = 0, сигма = 1 и x0 = 0, сигма = 0,5.

Задача измерений в науке и технике - найти приближенное значение <?xml version="1.0"?>
истинного значения <?xml version="1.0"?>
и указать границы неопределенности этой оценки, являющиеся в некотором вероятностном смысле мерой отклонения <?xml version="1.0"?>
от <?xml version="1.0"?>
. Это необходимо, чтобы сделать определенные выводы из эксперимента.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел после запятой следует ставить столько знаков, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом десятичных знаков. Пример: 21,32+11,4=32,7.

2. При умножении и делении в результате оставляют столько знаков, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом значащих цифр. Пример: <?xml version="1.0"?>
.

3. При возведении в квадрат и куб следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.

4. При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько цифр, сколько их имеет приближенное значение подкоренного числа.

5. Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой больше, чем рекомендуется в предыдущих правилах. В окончательном результате эта цифра отбрасывается.

6. Если некоторые данные (при сложении или вычитании) имеют больше десятичных знаков или больше значащих (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

7. Все ошибки достаточно приводить с двумя значащими цифрами.

8. Наименьшие разряды численных значений результатов измерений и численных показателей точности должны быть одинаковы.

Рассмотрим случай непрерывной случайной величины, способной принимать любые значения из некоторого интервала (а, b). Нормальной (или гауссовской) случайной величиной называется случайная величина X, определенная на всей оси <?xml version="1.0"?>
и имеющая плотность вероятности (плотность распределения)

<?xml version="1.0"?>
,

<?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
- числовые параметры (не случайные величины), <?xml version="1.0"?>
- истинное значение случайной величины X, <?xml version="1.0"?>
- ее дисперсия (рис. 18Рис.18 Две нормальные плотности вероятности, соответствующие x0 = 0, сигма = 1 и  x0 = 0, сигма = 0,5.). Множество значений X может быть любым, однако должны выполняться два условия:

1. плотность p(x) положительна

2. интеграл от плотности по всему интервалу <?xml version="1.0"?>
равен 1:

<?xml version="1.0"?>

При этом вероятность того, что X окажется в интервале (a, b), равна:

<?xml version="1.0"?>

Параметр <?xml version="1.0"?>
не влияет на форму кривой p(x), изменение его приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси x, однако при изменении s форма кривой меняется. Действительно, можно видеть, что

<?xml version="1.0"?>

Если уменьшить <?xml version="1.0"?>
, то max p(x) будет возрастать, но площадь под кривой остается равной 1. Поэтому кривая будет сужаться в окрестности x = <?xml version="1.0"?>
. На рисунке построены две нормальные плотности с параметрами <?xml version="1.0"?>
= 0 и <?xml version="1.0"?>
=1 1 и 0,5. Нетрудно вычислить, что каковы бы ни были <?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
в, действительны следующие соотношения:

<?xml version="1.0"?>

<?xml version="1.0"?>

<?xml version="1.0"?>

Эти соотношения дают вероятность найти значения переменной X в пределах, заданных определенными значениями <?xml version="1.0"?>
.

Центральная теорема теории вероятности говорит, что при достаточно большом числе нормально распределенных случайных величин их сумма также распределена нормально. Поэтому измеряемые физические величины распределены по нормальному закону, так как являются результатом суммарного действия независимых случайных факторов: колебаний давления, температуры, показаний измерительного прибора, условий снятия показаний измерительного прибора и т.д.

Случайные помехи приводят к разбросу повторных результатов измерения <?xml version="1.0"?>
одной и той же величины X. Такие величины называются случайными или переменными величинами. Неограниченное число измерений одной и то же величины дает генеральную совокупность. Измерения свойств генеральной совокупности осуществляется с помощью конечной группы объектов, выбранных из генеральной совокупности. Такая группа называется выборкой, а число n элементов в ней - объемом выборки. Генеральная совокупность может быть реальной (например, большая партия производственных изделий) или гипотетической (например, результаты измерения физической величины). Большие совокупности результатов измерений физической величины имеют нормальное распределение и имеют следующие свойства:

1. Больше всего результатов концентрируются около среднеарифметического:

<?xml version="1.0"?>

2. Положительные и отрицательные отклонения результатов от среднего, то есть <?xml version="1.0"?>
, встречаются одинаково часто.

3. Чем больше абсолютная величина <?xml version="1.0"?>
, тем она встречается реже.

Среднеарифметическое по всей генеральной совокупности

<?xml version="1.0"?>

называется средним значением или математическим ожиданием. Число <?xml version="1.0"?>
называется случайной ошибкой i-го измерения. Ее можно рассматривать как значение случайной переменной, равной разности между случайной величиной X и ее средним значением,

<?xml version="1.0"?>
,

которая эта переменная принимает в i-м опыте. Переменная <?xml version="1.0"?>
называется случайной ошибкой. Среднеарифметическое n результатов имеет случайную ошибку

<?xml version="1.0"?>
(29)

Так как случайные ошибки имеют разные знаки, они компенсируют друг друга при сложении, таким образом среднеарифметическое является более точной оценкой среднего, чем отдельные значения <?xml version="1.0"?>
. Отклонение среднего от истинного значения физической величины <?xml version="1.0"?>
,

<?xml version="1.0"?>
,

которое находится на основе полного физического анализа, называется систематической ошибкой. Выбросом или грубой ошибкой называется ошибка, принадлежность которой к основной совокупности случайных ошибок <?xml version="1.0"?>
является маловероятной. В зависимости от условий измерения некоторые ошибки могут оказаться случайными или систематическими или грубыми. Например, отсчет показаний на шкале по проекции стрелки прибора. Далее примем, что <?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
.

Характеризует степень разброса значений генеральной совокупности <?xml version="1.0"?>
по отношению к среднему и определяется как среднее значение квадратов разностей между средним и всеми элементами генеральной совокупности

<?xml version="1.0"?>
.

Корень квадратный из дисперсии называется квадратичным отклонением <?xml version="1.0"?>
случайной переменной X. При конечном значении n можно получить только приближенное значение дисперсии, которая называется выборочной дисперсией или оценкой дисперсии

<?xml version="1.0"?>
.

<?xml version="1.0"?>
, чем больше n, тем ближе <?xml version="1.0"?>
к <?xml version="1.0"?>
, <?xml version="1.0"?>
к <?xml version="1.0"?>
. При <?xml version="1.0"?>
с хорошей точностью <?xml version="1.0"?>
. Далее будет использоваться везде <?xml version="1.0"?>
, предполагая, что n имеет достаточно большое значение.

Пусть проведено N повторных серий по n измерений в каждой и вычислены среднеарифметические для каждой серии <?xml version="1.0"?>
, где <?xml version="1.0"?>
- среднеарифметическое n результатов, объединенных в i-ю серию. Найдем среднее среднеарифметических и их дисперсию:

<?xml version="1.0"?>
,

где nN - число результатов в N сериях. Дисперсия совокупности равна

<?xml version="1.0"?>

Поскольку положительные и отрицательные ошибки встречаются с равной вероятностью, второй член при увеличении N стремится к нулю, а первый член - дисперсия совокупности отдельных измерений, то есть

<?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
.

Таким образом, дисперсия совокупности среднеарифметических результатов n измерений в n раз меньше дисперсии совокупности отдельных измерений.

Реально обычно имеют одну выборку из n измерений <?xml version="1.0"?>
Естественно, одно среднеарифметическое <?xml version="1.0"?>
меньше отклонится от истинного значения <?xml version="1.0"?>
(в отсутствие систематической ошибки), чем отдельные результаты <?xml version="1.0"?>
. Таким образом, квадратичное отклонение <?xml version="1.0"?>
является мерой неточности оценки <?xml version="1.0"?>
. Поскольку результаты отдельных измерений имеют квадратичное отклонение <?xml version="1.0"?>
, можно сказать, что <?xml version="1.0"?>
в <?xml version="1.0"?>
раз более точная оценка <?xml version="1.0"?>
, чем отдельный результат <?xml version="1.0"?>
. Причина этого - в частичной компенсации случайных ошибок отдельных результатов <?xml version="1.0"?>
. Из закона нормального распределения случайных величин следует, что <?xml version="1.0"?>
отклоняется от <?xml version="1.0"?>
более чем на<?xml version="1.0"?>
только в 5 случаях из 100, а на <?xml version="1.0"?>
лишь в 3 случаях из 1000. Для отдельного результата <?xml version="1.0"?>
в этих соотношениях надо взять соответственно <?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
. Поэтому измеренные значения <?xml version="1.0"?>
, для которых <?xml version="1.0"?>
, обычно отбрасываются, считая их грубыми ошибками (правило "трех сигм"), после чего вновь вычисляются величины <?xml version="1.0"?>
, <?xml version="1.0"?>
, и <?xml version="1.0"?>
.

Результаты измерения можно расположить в ряд по возрастающей величине: <?xml version="1.0"?>

Разность наибольшего и наименьшего результата выборки

<?xml version="1.0"?>
,

называется размахом выборки n и дает возможность получить оценку s по формуле

<?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
.

Коэффициенты <?xml version="1.0"?>
приведены в таблице.

Таблица

N (dn)-1 N (dn)-1 N (dn)-1
2 0,886 7

0,370

12 0,307
3 0,591 8 0,351 13 0,300
4 0,486 9 0,337 14 0,294
5 0,430 10 0,325 15 0,288
6 0,395 11 0,315 16 0,283

При небольшом числе измерений (<?xml version="1.0"?>
) оценка по размаху по точности не уступает оценке по квадратам разностей. На основании изложенного становится понятным принятое представление конечного результата неоднократных измерений в виде

<?xml version="1.0"?>

В качестве примера ниже приводятся результаты измерения светостойкости красочного слоя при воздействии интенсивного ультрафиолетового излучения в течение 15 дней.

<?xml version="1.0"?>
;

<?xml version="1.0"?>
;

<?xml version="1.0"?>
;

<?xml version="1.0"?>
;

<?xml version="1.0"?>
.

Окончательный результат: оптическая плотность <?xml version="1.0"?>
, то есть в пределах точности эксперимента остается неизменной в процессе облучения ультрафиолетом. Упрощенная оценка по размаху дает следующий результат. Наименьший результат <?xml version="1.0"?>
, наибольший <?xml version="1.0"?>
, размах <?xml version="1.0"?>
. Из таблицы получаем <?xml version="1.0"?>
, что мало отличается от полученного выше значения <?xml version="1.0"?>
. Иногда окончательный результат измерений выражают через вероятную погрешность, которая определяет 50%-ную точность результата.

Решая уравнение

<?xml version="1.0"?>

получаем a = 0,6745. В этом случае окончательный результат записывается в виде

<?xml version="1.0"?>

 День Опт.плотность, xi (xi) (xi )2

 1

2,48

+0,22

0,0484
 2 2,50 +0,24 0,0576
 3 2,50 +0,24 0,0576
 4 2,32 +0,06 0,0036
 5 2,09 –0,17 0,0289
 6 1,98 –0,28 0,0784
 7 2,07 –0,19 0,0361
 8 2,28 +0.02 0,0004
 9 2,27 +0,01 0,0001
 10 2,20 –0,06 0,0036
 11 2,30 +0,04 0,0016
 12 2,25 –0,01 0,0001
 13 2,11 –0,15 0,0225
 14 2,30 +0,04 0,0016
 15 2,27 +0,01 0,0001
   S = 33,92;  = 2,261 S = +0,02 S = 0,3406

До сих пор речь шла о точечных оценках определяемых величин и их погрешностях. Более строгой является доверительная (интервальная) оценка, при которой указываются границы интервала, с заданной вероятностью покрывающего истинное значение <?xml version="1.0"?>
и его погрешность <?xml version="1.0"?>
. Из соотношений следует, что если повторять многократно серии по n измерений в каждой, вычисляя каждый раз среднеарифметические <?xml version="1.0"?>
, то <?xml version="1.0"?>
этой совокупности попадут в заданный интервал, заданный значениями <?xml version="1.0"?>
, а <?xml version="1.0"?>
- не попадут. Если дисперсия <?xml version="1.0"?>
известна, то ширина доверительного интервала при данном числе измерений является величиной постоянной <?xml version="1.0"?>
(k - положительное целое число), а положение <?xml version="1.0"?>
- случайной. Если значение неизвестного параметра <?xml version="1.0"?>
с вероятностью Р заключено в интервале от <?xml version="1.0"?>
до <?xml version="1.0"?>
, то <?xml version="1.0"?>
и <?xml version="1.0"?>
называют 100Р%-ными доверительными пределами для <?xml version="1.0"?>
Возвращаясь к рассмотренному выше примеру определения светостойкости красочного слоя, можно утверждать, что <?xml version="1.0"?>
; 2,30 и 2,22 являются 68%-ными доверительными пределами для D (к = 1); или <?xml version="1.0"?>
; 2,34 и 2,18 являются 95%-ными доверительными пределами для D (k = 2).

© Центр дистанционного образования МГУП