Московский государственный университет печати

А.В. Ванников, Р.М. Уарова, Г.А. Бабушкин


         

Основы электрографии и бесконтактного краскопереноса

Задачи для практических занятий для студентов обучающихся по специальности 281400 - "Технология полиграфического производства"


А.В. Ванников, Р.М. Уарова, Г.А. Бабушкин
Основы электрографии и бесконтактного краскопереноса
Начало
Печатный оригинал
Об электронном издании
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

1.

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОФОТОГРАФИИ

1.1.

Зарядка фоторецептора

1.1.1.

Задачи

1.2.

Образование скрытого электростатического изображения

1.2.1.

Фотоиндуцированная разрядная кривая

1.2.1.1.

Задачи

1.2.2.

Формирование скрытого электростатического изображения

1.2.2.1.

Задачи

1.2.3.

Разрешающая способность скрытого электростатического изображения

1.2.3.1.

Задачи

1.3.

Проявление скрытого электростатического изображения

1.3.1.

Электрическое поле над скрытым электростатическим изображением

1.3.1.1.

Задачи

1.3.2.

Осаждение тонера на скрытое изображение

1.3.2.1.

Задачи

2.

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОФОТОГРАФИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

2.1.

Задачи на расчет электрофотографического процесса

2.1.1.

Задачи

2.2.

Комплексные задания на расчет электрофотографического процесса

2.2.1.

Методические указания по выполнению заданий

2.2.2.

Комплексные задания

3.

ОСНОВЫ СТРУЙНОЙ ПЕЧАТИ

3.1.

Образование капельной струи при непрерывной струйной печати

3.1.1.

Задачи

3.2.

Образование капельной струи при импульсной струйной печати

3.2.1.

Задачи

4.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО ЭЛЕКТРОФОТОГРАФИИ И СТРУЙНОЙ ПЕЧАТИ

4.1.

Электростатические расчеты в электрофотографии

4.1.1.

Задачи

4.2.

Процессы проявления в электрографии

4.2.1.

Задачи

4.3.

Струйная печать

4.3.1.

Задачи

4.4.

Примеры решения задач

5.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задачи данного раздела предназначаются для студенческого курса «Процессы и технологии цифровой печати», для аспирантов, работающих по данной специализации, а также для студентов общего потока, желающих более глубоко освоить процессы электрофотографии и струйной печати.

Приведем несколько математических формул, которые пригодятся при решении некоторых задач данного раздела.

Гиперболические функции

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Преобразования Фурье

Если <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Если задан интервал разложения - <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, то

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

При определении распределений напряженности и потенциала электростатического поля в электрофотографии необходимо использовать систему уравнений Максвелла для электростатического режима или вытекающие из этой системы уравнения. Ниже приводим сводку соответствующих формул, которые помогут решить предложенные на данную тему задачи.

Электростатика в электрофотографии и уравнение непрерывности

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- плотность свободных зарядов в диэлектрике; q - полный свободный заряд, заключенный внутри поверхности S.

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

На поверхности проводника <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

На поверхности раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются граничные условия

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

(орт нормали n проведен из первой среды во вторую); <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- орт, касательный к поверхности; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- поверхностная плотность зарядов. Поверхностная плотность свободных зарядов на границе раздела равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Уравнение непрерывности

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
,

где t - время, а j - плотность тока.

  1. Найти, каким образом убывает во времени начальная плотность зарядов в любой точке внутри проводника. Оценить время, в течение которого первоначальный заряд внутри медного проводника исчезает (удельное сопротивление меди равно <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
). Если проводник изолирован, то как распределяется заряд?
  2. Определить потенциал электрического поля на оси симметрии равномерно заряженной цилиндрической поверхности радиуса R и высоты 2h. Поверхностная плотность равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.
  3. Проводящая плоскость XY несет поверхностный заряд с периодической плотностью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Найти потенциал электрического поля в проводнике.
  4. Бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с поверхностной плотностью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
(<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- полярный угол цилиндрической системы координат с осью z, направленной вдоль оси симметрии поверхности). Найти потенциал и напряженность электростатического поля внутри и снаружи цилиндрической поверхности, которая поддерживается при нулевом потенциале.
  5. Поверхностная плотность заряда бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R имеет вид <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
при <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- постоянные, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- полярный угол, а ось z связана с осью цилиндрической поверхности. Найти распределение электростатического потенциала в каждой точке пространства.
  6. Найти распределение электрического потенциала и напряженности в четырехслойной структуре проводящая подложка-фотопроводник-диэлектрик-металл, если подложка заземлена, на границе диэлектрик-фотопроводник распределен электростатический заряд с поверхностной плотностью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и k - постоянные, а y - координата в плоскости структуры. Ось z направлена перпендикулярно плоскости структуры, а по оси x задача однородна. Толщины диэлектрика и фотопроводника равны d, а диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Построить графики зависимостей найденных величин от координат y, z. Контактными разностями на границах пренебречь.
  7. Определить распределение объемного заряда и потенциала на границе металл-полупроводник для <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, если разность работ выхода <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Оценить глубину проникновения поля в полупроводник.
  8. Чему равно отношение падения потенциала в зазоре (см. предыдущую задачу) к полному его падению на переходе? Ширина зазора равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.
  9. Точечный заряд находится на расстоянии d от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков с проницаемостями <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Найти потенциал электрического поля.
  10. Найти силу, приложенную к точечному заряду из предыдущей задачи.
  11. Найти плотность связанных поверхностных зарядов, наведенных точечным зарядом q на плоской границе раздела двух однородных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Какой результат получится при стремлении иллюстрация из="../files/00587.gif" что="формула"/> к бесконечности.
  12. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Найти потенциал, напряженность и индукцию электрического поля.
  13. Центр проводящего шара, заряд которого q, находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
Найти потенциал электрического поля, а также распределение заряда с на шаре.
  14. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, где d - расстояние между обкладками, - диэлектрическая проницаемость, ось z направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых S. Пренебрегая краевым эффектом, найти распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов V.
  15. В плоский конденсатор с расстоянием d между обкладками вставлена плоскопараллельная плитка из диэлектрика толщиной d/2 и диэлектрической проницаемостью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Плитка касается одной из обкладок, обкладки заземлены. На поверхность диэлектрика нанесен точечный заряд q. Найти распределение поля в конденсаторе.
  16. Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиусами R находятся на расстоянии d друг от друга. Цилиндры несут заряды <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
на единицу длины. Найти распределение зарядов на поверхностях цилиндров.
  17. Вычислить силы притяжения точечного заряда q, расположенного на расстоянии a 1) от идеально проводящей плоскости; 2) от центра идеально проводящей поверхности шара радиуса R (R меньше a); 3) от оси идеально проводящей поверхности цилиндра радиуса R (R меньше a).

Приведем формулы, которые необходимо использовать при решении задач данного подраздела.

Оптическая плотность проявления штриха

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
,

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- величина электростатического контраста; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- параметр, зависящий от скорости подачи проявителя, размера частиц тонера, диэлектрических проницаемостей соответствующих сред, толщин фотопроводника и области проявления; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- параметр, зависящий от скорости проявления, ширины штриха и др. <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- потенциал смещения и потенциал поля в областях фона, соответственно.

Связь между оптической плотностью изображения D и поверхностной плотностью заряда тонера <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
,

где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- константа нейтрализации; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- параметр, зависящий от размера частиц тонера, их оптической плотности, формы и др.; <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- напряженность электростатического поля в начальный момент времени в процессе проявления; с - электропроводность в области проявления.

Уменьшение напряженности электрического поля и увеличение оптической плотности в процессе проявления подчиняются, соответственно, уравнениям

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

  1. Константа нейтрализации процесса проявления равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, напряженность электрического поля равна <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, электропроводность для тонера равна c. Определить, за какое время поверхностная плотность заряда тонера составит 50% от отношения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.
  2. Оценить, при каком условии оптическую плотность изображения можно считать линейно зависящей от времени проявления.
  3. В случае порошкового проявления построить кривые зависимостей отношений коэффициентов, входящих в формулу для оптической плотности проявленного изображения, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, от пространственной частоты k синусоидального изображения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и k - постоянные, а y - координата в плоскости изображения. Рассмотреть случаи, когда толщина слоя с проявителем совпадает с толщиной слоя фотопроводника, в два раза меньше и в два раза больше толщины слоя фотопроводника.
  4. Получить формулы для оптической плотности изображения D при порошковом проявлении в случае малого времени проявления t (когда оптическая плотность пропорциональна времени), если распределение поверхностной плотности заряда скрытого изображения на фотопроводнике представляет собой периодически повторяющие штрихи шириной X; пробелы между штрихами также равны X. Указание: Воспользоваться результатом расчета оптической плотности в случае порошкового проявления синусоидального изображения, <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и k - постоянные, а y - координата в плоскости структуры.
  5. В условии предыдущей задачи получить выражение для коэффициентов <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, которые входят в формулу для оптической плотности. Записать отношение этих коэффициентов. Указание: Воспользоваться результатом расчета оптической плотности в случае порошкового проявления синусоидального изображения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и k - постоянные, а y - координата в плоскости структуры.
  6. Во сколько раз уменьшится заряд тонера при электрофоретическом проявлении по сравнению с порошковым проявлением (при прочих равных условиях), если электропроводность частиц порошка в 10 раз превышает электропроводность углеводорода.
  7. Какая должна быть плотность числа состояний, если через единицу поверхности тонера должен протекать заряд с поверхностной плотностью <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
электронов на <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
? Разность работ выхода полупроводника и металла считать равным 1 эВ.
  8. Вывести формулу и построить качественно график изменения со временем поверхностной плотности заряда тонера при проявлении.
  9. В случае проявлении магнитной кистью определить величину заряда, при котором напряженность электрического поля минимальна. Написать формулу для напряженности электрического поля. Какова будет форма графика?
  10. Найти, при каком условии существует единственное значение заряда, при котором может происходить проявление магнитной кистью. Результат также качественно проиллюстрировать графически.
  11. Перечислить силы взаимодействия, участвующие при контакте тонера с носителем и фотопроводником в случае проявления магнитной кистью.
  12. Считая, что оптическая плотность пропорциональна числу частиц тонера на носителе, написать для нее выражение.

Приведем формулы, необходимые для решения предложенных задач гидродинамики струйной печати.

Уравнение Навье - Стокса для жидкости с плотностью ? имеет вид

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
,

где v - скорость жидкости в фиксированной точке пространства, p - давление жидкости, а <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- коэффициенты вязкости (динамической и второй). При отсутствии вязкости уравнение Навье - Стокса переходит в уравнение Эйлера.

Для несжимаемой жидкости div v = 0, а для безвихревого течения

Уравнение непрерывности имеет вид

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

  1. Скорость истечения из сопла можно представить в виде разложения в ряд Фурье. Считая скорость по каналу сопла <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
постоянной и быстро спадающей до нуля при удалении от сопла в глубь трубки примерно на расстояние, равном радиусу сопла, для вычисления коэффициентов разложения можно воспользоваться уравнением
  2. <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- давления из выражения <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, ? - плотность жидкости, l - эффективная длина сопла. Написать выражение для скорости <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
с точностью до членов второго порядка из указанного разложения.
  3. Получить распределение давления при стационарном течении вязкой жидкости в трубе произвольного сечения (ось трубы направлена по оси координат x).
  4. Определить распределение скорости в трубе при стационарном течении вязкой жидкости (ось трубы направлена по оси координат x).
  5. Определить среднее движение жидкости в струе вне турбулентной области.

Задача. Вывести формулы изменения со временем поверхностной плотности заряда тонера и оптической плотности при проявлении.

Решение. Уменьшение напряженности электрического поля и увеличение оптической плотности в процессе проявления подчиняются, соответственно, уравнениям

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (1)

Закон Ома для рассматриваемого случая запишется в виде

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. (2)

Продифференцируем уравнение по времени и воспользуемся первым из уравнений в (1):

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
откуда <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
или <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
В результате интегрирования получаем <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
или <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
, где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
- постоянные интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
и <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
воспользуемся начальными условиями: <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
. Тогда получим:

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

Плотность находим по формуле <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
.

© Центр дистанционного образования МГУП